Question

已知函数，，

（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；

（Ⅱ）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；

（Ⅲ）对（Ⅱ）中的，证明：当时， .

Answer

（Ⅰ）a=， y－e= (x－e2)(II) （Ⅲ）利用函数的单调性证明

【解析】

试题分析：（Ⅰ）=,=(x>0),

由已知得 解得a=，x=e2,

∴两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为k=f’(e2)=

∴切线的方程为 y－e= (x－e2)

(II)由条件知h(x)=–aln x(x＞0),

（i）当a>0时，令解得，

∴当0 << 时，，在（0，）上递减；

当x>时，，在上递增.

∴是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.

∴最小值

（ii）当时，在（0，+∞）上递增，无最小值。

故的最小值的解析式为

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

则，令解得.

当时，，∴在上递增；

当时，，∴在上递减.

∴在处取得最大值

∵在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.

∴当时，总有

考点：本题考查了导数的运用