Question

如图，已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点.

（Ⅰ）求证：，，三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）可设直线的方程（），，，由消去，得，. ，，由，得，所以，直线的斜率为直线的方程为 同理，直线的方程为  M的横坐标即，，三点的横坐标成等差数列（Ⅱ）32

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知，得，显然直线的斜率存在且不为0，则可设直线的方程

（），，，

由消去，得，

. ，         2分

由，得，所以，直线的斜率为，

所以，直线的方程为，又，

所以，直线的方程为      ①         4分

同理，直线的方程为      ②          5分

②-①并据得点M的横坐标，

即，，三点的横坐标成等差数列          7分

（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）().

所以，则直线MF的方程为          8分

设C(x3,y3),D(x4,y4), 由消去，得，

，.             9分

又

               10分

         12分

因为，所以，

所以，，

当且仅当时，四边形面积的取到最小值         14分

考点：抛物线方程及直线与抛物线的相交的位置关系弦长等