Question

设函数。

（1）求函数的最小值；

（2）设，讨论函数的单调性；

（3）斜率为的直线与曲线交于,两点，求证：。

Answer

（1）．（2）当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；

当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．（3）构造函数利用函数的单调性证明不等式

【解析】

试题分析：（1）f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．

∵当时，f'（x）＜0；当时，

f'（x）＞0，

∴当时，．                 4分

（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．

①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；

②当a＜0时，

令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；

令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．

综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；

当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．    8分

（3）．

要证，即证，等价于证，令，

则只要证，由t＞1知lnt＞0，

故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．

①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，

故g（t）在[1，+∞）上是增函数，

∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．

②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，

∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．

由①②知（*）成立，得证．                 12分

考点：本题考查了导数的运用