Question

已知函数.

（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）函数定义域为，．

由，得．             

当时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，符合题意。   

（Ⅱ）设，则当时，恒成立．

由，得．            

．方程有一负根和一正根，．其中不在函数定义域内．

在上是减函数，在上是增函数．即在定义域上的最小值为．                

依题意只需，即．又，所以，，. 所以，

即.               

令，则

当时，，所以是增函数。由，所以的解集为，即，所以．即的取值范围是．

解法二：，即

设，则，

设，则，

当时，，是减函数

，即是减函数，         

当时，先证，

设，，

在上是增函数且，，即，

当时，

由，的最大值为2，即的取值范围是．     

考点：函数的极值；解不等式