Question

定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数, 且当x∈(0, 1)时, f (x)＝.

（1）求f (x)在[－1, 1]上的解析式;  

（2）证明f (x)在(—1, 0)上时减函数;

（3）当λ取何值时, 不等式f (x)＞λ在R上有解?

Answer

（1） f(x)=. （2）用定义或导数法均可证明；（3）λ＜ 

【解析】

试题分析：（1）当x∈(-1, 0)时, - x∈(0, 1).∴由题意可得f(-x)=.

又f(x)是奇函数,∴f(x)=" -" f (-x) =-.    2分

∵f(-0)= -f(0),  ∴f(0)=" 0."    3分

又f(x)是最小正周期为2的函数,∴对任意的x有f(x+2)= f(x).

∴f(-1)=" f(-1+2)=" f(1). 另一面f(-1)="-" f (1), ∴- f(1)=" f(1)" . ∴f(1) = f(-1)=0.  5分

∴f(x)在[-1, 1]上的解析式为 f(x)=.    6分

（2）f (x)在(—1, 0)上时的解析式为，∵，∴，又-1