Question

已知函数为常数，e是自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，证明恒成立；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）确定函数有最小值，所以恒成立.

（Ⅱ）实数的取值范围是．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是．

所以函数有最小值，所以恒成立.

（Ⅱ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．

由得．

①当时，．

此时在上单调递增．

故，符合题意．

②当时，．

当变化时的变化情况如下表：

单调递减

极小值

单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题。