Question

如图所示，O为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线L交抛物线y=2x于M(x,y),N(x,y)两点. ⑴写出直线L的方程；⑵求xx与yy的值；⑶求证：OM⊥ON

Answer

⑴直线L方程为y=k(x-2)

⑵xx=4,yy=-4

（3）根据已知中直线的方程意义抛物线的方程联立方程组，结合斜率公式来表示求证。

【解析】

试题分析：解:⑴

（Ⅰ）【解析】
直线l过点P（2，0）且斜率为k，故可直接写出直线l的方程为y=k（x-2） （k≠0）①

（Ⅱ）【解析】
由①及y2=2x消去y代入可得k2x2-2（k2+1）x+4k2=0．②则可以分析得：点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，由韦达定理得x1x2由韦达定理得x1x2= =4.又由y12=2x1，y22=2x2得到（y1y2）2=4x1x2=4×4=16，又注意到y1y2＜0，所以y1y2=-4．（Ⅲ）证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k=,k=.相乘得k k==-1OM⊥ON所以证得：OM⊥ON．

考点：直线与抛物线的位置关系