Question

已知函数f(x)＝ln x－.

(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值；

(3)若f(x)<x²在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数

（2）a＝－.

（3）a≥－1时，f(x)0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．  3分

(2)由(1)可知，f′(x)＝.

①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，

所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－ (舍去)．  5分

②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，

所以f(x)min＝f(e)＝1－＝?a＝－ (舍去)．   7分

③若－e0，所以f(x)在[－a，e]上为增函数，所以f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－. 

综上所述，a＝－.     9分

(3)因为f(x)0，所以a>xln x－x3.

令g(x)＝xln x－x3，

h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，h′(x)＝－6x＝.   11分

因为x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上是减函数．

所以h(x)