Question

已知函数

(1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围.

(2)当时,比较与1的大小.

(3)求证:

Answer

（1）

（2）①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即

（3）利用（2）的结论或数学归纳法证明

【解析】

试题分析：（1）当时，，定义域是，     1分

，

令，得或．       2分

当或时，，当时，，

函数在、上单调递增，在上单调递减．     4分

的极大值是，极小值是．

当时，；当时，，

当仅有一个零点时，或．

∴的取值范围是       5分

（2）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．        7分

∵

∴①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．     9分

（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，  

．     12分

，．      14分

(法二)①当时，．

，，即时命题成立．      10分

②假设时，命题成立，即．

则当时，

．

根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．   13分

因此，由①②知不等式成立．         14分

考点：本小题主要考查利用导数求解函数的单调性，求参数的取值范围和利用导数或数学归纳法证明不等式.