Question

如图所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，是的中点.

求证：（1）平面；

（2）.

Answer

（1）根据题意，取AB中点N，连接FN、NC；又F为BE的中点 ∴FN为的中位线,那么FN∥AE，进而得到平行性，AE∥CD，得到结论。

（2）对于已知中，由于AE="AB"  F是BE的中点 在中N是AB的中点  ∴AF⊥BE  CN⊥AB，那么根据线面垂直的性质定理来的得到结论。

【解析】

试题分析：证明：（1）取AB中点N，连接FN、NC；又F为BE的中点 ∴FN为的中位线, ∴FN∥AE  FN=AE   又AE、CD都垂直与面ABC，2CD=AE   ∴AE∥CD   ∴ CD∥FN且CD=FN

∴四边形CDFN为平行四边形  ∴DF∥CN   又CN面ABC  ∴ DF∥面ABC

（2）∵AE="AB"  F是BE的中点 在中N是AB的中点  ∴AF⊥BE  CN⊥AB

∵AE⊥面ABC  AE面ABE   ∴面ABE⊥面ABC  又CN⊥AB   ∴CN⊥面ABE

∴ DF⊥面ABE   ∴ DB在平面ABE的射影为BF   ∴ AF⊥BD

考点：平行和垂直的证明