Question

已知函数

（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值.

（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）设各项为正的数列满足：求证：

Answer

（1）；  （2）  ；   （3）

【解析】

试题分析：（I）依题意，对任意的恒成立，即在x1恒成立．则a.

而0，所以，在是减函数，最大值为1，所以，，实数的最小值。

（II）因为，且在上恰有两个不相等的实数根，

即在上恰有两个不相等的实数根，

设g（x）=，则g'（x）=

列表：

X

(0,)

(,2)

2

(2,4)

+

0

-

0

+

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数

所以，g（x）极大值=g（）=-ln2-b，g（x）极大值=g（2）=ln2-b-2，，g（4）=2ln2-b-1

因为，方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．

则，解得．

（III）设h（x）=lnx-x+1，x∈[1，+∞），则h'（x）=-1≤0

∴h（x）在[1，+∞）为减函数，且h（x）max=h（1）=0，故当x≥1时有lnx≤x-1．

∵a1=1，假设ak≥1（k∈N*），则ak+1=lnak+ak+2＞1，故an≥1（n∈N*）

从而an+1=lnan+an+2≤2an+1∴1+an+1≤2（1+an）≤…≤2n（1+a1）

即1+an≤2n，∴an≤2n-1

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极（最）值，研究函数的图象和性质，数列不等式的证明。