Question

已知函数，.（其中为自然对数的底数）.

（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若对于任意实数≥0，恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）＝－1 （2）  （3）不存在

【解析】

试题分析：（1）， 因此在处的切线的斜率为，

又直线的斜率为， ∴（）＝－1，∴ ＝－1.

（2）∵当≥0时，恒成立，

∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数；

又当＞0时，恒成立，

则恒成立， 设＝，则＝，

当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，

当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减，

故当＝1时，取得极大值，， ∴ 实数的取值范围为．

（3）依题意，曲线C的方程为，

令＝，则

直. 设，则，

当，，故在上的最小值为，

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，则＝0，矛盾。

所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值；两条直线垂直的判定．