Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， CC₁⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC₁，AB的中点．

（1）求证：CN⊥AB₁；

（2）求证：CN//平面AB₁M．

Answer

（1）如下（2）如下

【解析】

试题分析：证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC，

∴BB1⊥平面ABC， ∴BB1⊥CN．

∵AC=BC，N是AB的中点，∴CN⊥AB．

又∵AB∩BB1=B，∴CN⊥平面AB B1A1，∴CN⊥AB1．

（2）（方法一）连结A1B交AB1于P．∵三棱柱ABC-A1B1C1，

∴P是A1B的中点．∵M，N分别是CC1，AB的中点，

∴NP // CM，且NP = CM，∴四边形MCNP是平行四边形，

∴CN//MP．∵CN平面AB1M，MP平面AB1M，

∴CN //平面AB1M．

（方法二）取BB1中点P，连结NP，CP．

∵N，P分别是AB，BB1的中点，∴NP //AB1．

∵NP平面AB1M，AB1平面AB1M，

∴NP //平面AB1M．同理 CP //平面AB1M．

∵CP∩NP =P，∴平面CNP //平面AB1M．

∵CN平面CNP，∴CN //平面AB1M．

考点：直线与平面平行的判定定理；直线与平面垂直的判定定理