Question

（本题满分12分）

如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱被平面所截而得. ，为的中点．

（1）当时，求平面与平面的夹角的余弦值；

（2）当为何值时，在棱上存在点，使平面？

Answer

（1）（2）2

【解析】

试题分析：（1）分别取、的中点、，连接、．

以直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，则、、的坐标分别为

（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），

∴=（-1，，2），=（-2，0，3）

设平面的法向量，

由得

，可取         …… 3分

平面的法向量可以取           

∴           …… 5分

∴平面与平面的夹角的余弦值为．                  ……6分

（2）在（1）的坐标系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．

因在上，设，则

∴

于是平面的充要条件为

由此解得，    ……10分

即当=2时，在上存在靠近的第一个四等分点，使平面. ……12分

考点：空间向量求解二面角，判定线面垂直