Question

（本题满分10分）

如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F，

⑴求证：A₁C⊥平面BDE；

⑵求A₁B与平面BDE所成角的正弦值。

Answer

⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE

⑵

【解析】

试题分析：⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE

⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，

，∴，∴

设A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，

∴

考点：本题主要考查三垂线定理的应用，角的计算，空间向量的应用。