Question

设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=

(Ⅰ)求φ；

(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间；

(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切.

Answer

(Ⅰ)

(Ⅱ)单调增区间为［kπ+  kπ+π］,k∈Z,

(Ⅲ)见解析

【解析】

【错解分析】由对称轴是x=，可知2×+φ使f(x)取最值，即+φ=kπ+.(k∈Z)，从而可求φ；由sinx的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由｜f′(x)｜=｜2cos(2x+φ)｜≤2，直线5x-2y+c=0的斜率为>2说明直线和f(x)的图象不能相切.

【正解】(Ⅰ)解法1：因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，

所以sin(2·+φ)=±1,  则有+φ=kπ+,k∈Z. 

因为-π<φ<0, 所以φ=-

解法2：函数y=sin 2x图像的对称轴为x=+,k∈Z.

y=sin(2x+φ)的图像由y=sin 2x的图像向左平移得到，

所以有+-=  k∈Z.

∵-π<φ<0,∴φ=.

解法3：因为x=是函数y=f(x)的图像的对称轴. 所以f(-x)=f(+x).

即sin［2(-x)+φ］=sin［2(+x)+φ］，

于是有2(-x)+φ=2kπ+2(+x)+φ(舍去),

或［2(-x)+φ］+［2(+x)+φ］=2kπ+π. 

因为-π<φ<0，∴φ=

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知φ=-π,因此y=sin(2x-π)，

由题意得2kπ-≤2x-π≤2kπ+,(k∈Z),

所以函数y=sin(2x-π)的单调增区间为［kπ+  kπ+π］,k∈Z,

解法2：由y′=2cos(2x-π)≥0可得，2kπ-≤2x-π≤2kπ+  k∈Z,

所以函数y=sin(2x-π)的单调增区间为［kπ+,kπ+π］  k∈Z,

(Ⅲ)解法1：因为｜y′｜=｜［sin(2x-π)］′｜=｜2cos(2x-π)｜≤2,

所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为［-2,2］，而直线5x-2y+c=0的斜率>2，

所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-π)的图象不相切.

解法2：令F(x)=sin(2x-π)-, 

则F′(x)=2cos(2x-π)-,

∵-1≤cos(2x-π)≤1，F′(x)≠0.

则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-π)的图像不相切.

【点评】本题第(Ⅰ)(Ⅱ)问是三角函数中最基本的问题，第(Ⅲ)问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的.