Question

已知函数

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，求证：．

Answer

（Ⅰ）0（Ⅱ）（Ⅲ）当时，不等式等价于．ln>令，设，则′(t)=>0

在上单调递增，

【解析】

试题分析：（Ⅰ），则．

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减，

所以，在处取得最大值，且最大值为0．                       4分

（Ⅱ）由条件得在上恒成立．

设，则．

当 x∈(0,e)时，；当时，，所以，．

要使恒成立，必须．

另一方面，当时，，要使恒成立，必须．

所以，满足条件的的取值范围是．                          8分

（Ⅲ）当时，不等式等价于．ln>

令，设，则′(t)=>0，

在上单调递增，，

所以，原不等式成立．                                    12分

考点：函数单调性与最值