Question

已知函数，其中为实数；

（1）当时，试讨论函数的零点的个数；

（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

Answer

（1）当或时，函数有1个零点；

当或时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点； 

（2）

【解析】

试题分析：(1) 当时，，

由 得  

范围

1

2

+

     0

     -

0

    +

递增

 取极大值

递减

取极小值

 递增

由上表知：，                             …4分

故 当或时，函数有1个零点；

当或时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点；                                            …7分

（2）解法一：由题意知：对任意都成立

即对任意都成立，

设（），则对任意，为单增函数，

所以对任意，恒成立的充要条件是

即            

于是的取值范围是                                                     …15分

解法二：由题意知：对任意都成立

即对任意都成立，

于是对任意都成立，即，

于是的取值范围是                                                     …15分

考点：本小题主要考查函数零点个数的判断和恒成立问题的求解.