Question

设曲线在点处的切线斜率为，且，对一切实数,不等式恒成立．

（1） 求的值；

（2） 求函数的表达式；

（3） 求证:．

Answer

（1）k（1）=1（2）k（x）=x2+x+=（x+1）2；

（3）第二问的基础上，利用均值不等式放缩来得到证明。

【解析】

试题分析：【解析】
（1）根据题意，对一切实数x，不等式恒成立，则当x=1时，有1≤k（1）≤ =1，即1≤k（1）≤1，则k（1）=1

（2）对曲线方程求导可得k（x）=ax2+bx+c， k（-1）=0，则a-b+c=0------①由（1）得，k（1）=1，则a+b+c=1------②由①②得a+c= ，b=；则k（x）=ax2+x+c，又由x≤k(x)≤ (x2+1)恒成立可得， ax2-x+c≥0且（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立，由ax2+x+c≥0恒成立可得a＞0，≤4ac，由（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）得0＜a＜，且≤ac≤

ac=，且a+c=，则a=c=，则k（x）=x2+x+=（x+1）2；

证明：（3）由（2）可得k（x）=（x+1）2，则＞=2（），即）；则即不等式可证．

考点：函数的恒成立、曲线的切线方程