Question

已知动圆过定点，且与直线 相切．

（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；

（2）抛物线C上一点，是否存在直线与轨迹C相交于两不同的点B，C，使 的垂心为？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以动圆的圆心M的轨迹C的方程为；                 4分

（Ⅱ）由已知得，直线的斜率为，由直线的斜率为1，

设直线的方程是，由，消去得，

由韦达定理得，由，得

由，得，

即，

所以，

即，得，

解得或，当时，直线的方程是，过点，不合，

所以存在这样的直线，其方程是．                  10分

考点：抛物线定义及抛物线与直线相交的位置关系