Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别为的中点，，且

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值。

Answer

（1）以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系则D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0）（0，1，0）P（0，0，）

所以（，0，），，∵·=0，所以MC⊥BD（2）

【解析】

试题分析：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥DA，PD⊥DC，

在矩形ABCD中，AD⊥DC，

如图，以D为坐标原点，

射线DA，DC，DP分别为

轴、轴、轴

正半轴建立空间直角坐标系    4分

则D（0，0，0），A（，0，0），

B（，1，0）（0，1，0），

P（0，0，）     6分

所以（，0，），，  7分∵·=0，所以MC⊥BD          7分

（2）【解析】
因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，

所以BD⊥平面MCE,

所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，       9分

由已知，所以平面PBD的法向量  10分

M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，

又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，

所以DM⊥平面PAB，          11分

所以平面PAB的法向量（-，0，）      12分

设二面角A—PB—D的平面角为θ，

则.

所以，二面角A—PB—D的余弦值为.        15分

考点：线线垂直的判定与二面角