Question

设函数（,b∈Z），曲线在点（2，）处的切线方程为=3.

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线=上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

Answer

（1）f(x)=x+（2）2.

【解析】

试题分析：(1)解  f′(x)=a-,于是解得或

因为a,b∈Z,故f(x)=x+.（4分）

(2)证明 在曲线上任取一点（x0,x0+）,

由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=(x-x0).（6分）

令x=1,得y=,切线与直线x=1的交点为;

令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为

|2x0-1-1|=|2x0-2|=2.所以,所围三角形的面积为定值2.（10分）

考点：导数的几何意义，和三角形面积