Question

如图，已知直三棱柱，，是棱上动点，是中点 ，，.

（1）求证：平面；

（2）当是棱中点时，求证：∥平面；

（3）在棱上是否存在点，使得二面角的大小是，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.

Answer

（1），平面（2）∥，四边形是平行四边形∥∥平面（3）在棱上存在点，使得二面角的大小是，

此时

【解析】

试题分析：（1）证明：∵三棱柱是直棱柱，∴平面.

又∵平面，∴ .

∵，，是中点，

∴. 

又∵∩，

∴平面.                                                    ……4分

（2）证明：取的中点，联结，.

∵、分别是棱、中点，

∴ ，.

又∵，，

∴ ∥，.

∴ 四边形是平行四边形，

∴ ∥.  

又∵平面，平面，

∴ ∥平面.                                                   ……9分

（3）以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,.

设，平面的法向量，

则,.

且，.

于是

所以取，则

∵ 三棱柱是直棱柱，

∴ 平面.

又∵ 平面，∴  .∵ ，

∴ . ∵ ∩，∴ 平面.

∴ 是平面的法向量，.

二面角的大小是，

则. 解得.

∴ 在棱上存在点，使得二面角的大小是，

此时.                                                         ……15分

考点：本小题主要考查空间立体几何中的线面垂直、线面平行和二面角问题，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力.