Question

（本题13分）设椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且是的中点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由。

Answer

（1）；（2）；（3）存在满足题意的P，且。

【解析】

试题分析：（1）由得，所以 ……………………………3分

（2）由外接圆圆心，半径为 所以，解得

所以椭圆方程为         ……………………………6分

（3），设直线，设

联立消y得

，    ……………………………7分

设的中点，，

由题意，，所以，（由已知）

化简得 ，        ……………………………11分

所以      

所以存在满足题意的P，且。     ……………………………13分

考点：椭圆啊标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆的位置关系；直线与椭圆的综合应用。