Question

（本题满分12分）

把边长为的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为，容积为.

（Ⅰ）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；

（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.

Answer

（Ⅰ），定义域为。（Ⅱ）容器高为时，容器的容积最大为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为    ----2分.

则   .            ---------4分

函数的定义域为.         --------- 5分

（Ⅱ）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点.

先求的极值点.

在开区间内，-----------6分

令，即令，解得.

因为在区间内，可能是极值点. 当时，；

当时，.            ------------8分

因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，

所以是的最大值点，并且最大值   

即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为.----------12分

考点：函数模型的实际应用；利用导数研究函数的极值和最值。