Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；

（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）取的中点M，为的中点，又为的中点，∴在三棱柱中，分别为的中点，，且则四边形A1DBM为平行四边形，，又平面，平面平面（Ⅱ）

【解析】

试题分析：取的中点M，，

为的中点，又为的中点，∴，

在三棱柱中，分别为的中点，

，且，

则四边形A1DBM为平行四边形，，

，又平面，平面，

平面．  6分

（Ⅱ）连接DM，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，

∴，，．

设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，

则由得取，

又由得取，

则，

故二面角E－BC1－D的余弦值为．  12分

考点：线面平行的判定及二面角求解