Question

已知函数，（其中）．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当时，．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer

（Ⅰ）极小值为，无极大值（Ⅱ）（Ⅲ）问题等价于．由（Ⅰ）知的最小值为．设，得在上单调递增，在上单调递减．∴，

∵=，∴，∴，故当时，

【解析】

试题分析：（Ⅰ），

∴（，），

由，得，由，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的极小值为，无极大值．  4分

（Ⅱ）函数，

则，

令，∵，解得，或（舍去），

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

函数在区间内有两个零点，

只需即∴

故实数a的取值范围是．   9分

（Ⅲ）问题等价于．由（Ⅰ）知的最小值为．

设，得在上单调递增，在上单调递减．

∴，

∵=，

∴，∴，故当时，．  14分

考点：函数极值最值