Question

已知函数，其中.

（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；

（Ⅱ）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）。（Ⅱ）的取值范围为。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知，

所以                         2分

因为是函数的极值点，所以，即

因为，所以                        4分

（Ⅱ）对任意的都有成立，

等价于对任意的都有

当时，,所以在上是增函数

所以                        6分

因为，且，         7分

①当且时，，

所以函数在上是增函数

∴

由≥，得≥

又，∴不合题意．                       9分

②当1≤≤时

若1≤＜，则

若＜≤，则

∴函数在上是减函数，在上是增函数

∴

由≥，得≥

又1≤≤，∴≤≤                         11分

③当且时，

∴函数在上是减函数

∴, 由≥，得≥

又，∴                             13分

综上所述，的取值范围为                     14分

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题。