Question

如图，在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，BC＝2，BB₁＝4，AB＝，∠BCC₁＝60°.

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面A₁B₁C₁；

（Ⅱ）求A₁B与平面ABC所成角的正切值；

（Ⅲ）若E为CC₁中点，求二面角A—EB₁—A₁的正切值.

Answer

（Ⅰ）由余弦定理可得BC1＝

利用BC2＋BC12＝CC12得C1B⊥CB，

又平面A1B1C1∥平面ABC 得到 C1B⊥平面A1B1C1.

（Ⅱ）;

（Ⅲ）二面角的正切值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：∵BC＝2，CC1＝4，∠BCC1＝60°由余弦定理可得BC1＝

∴BC2＋BC12＝CC12  ∴∠CBC1＝90° ∴C1B⊥CB             2分

又AB⊥面BB1C1C ∴C1B⊥AB，AB∩CB＝B ∴C1B⊥平面ABC，

又平面A1B1C1∥平面ABC  ∴ C1B⊥平面A1B1C1             4分

（Ⅱ）∵平面A1B1C1∥平面ABC      

∴A1B与平面ABC所成的角等于A1B与平面A1B1C1所成的角            5分

由（Ⅰ）知C1B⊥平面ABC  ∴C1B⊥平面A1B1C1    

∴∠BA1C1即为A1B与平面A1B1C1所成的角               6分

∠BC1 A1＝90° A1C1 ∴         8分

（Ⅲ）CE＝BC＝2，∠BCE＝60° ∴BE＝2 ∠EC1B1＝120°  C1E＝C1B1＝2 ∴EB1

∴BE2＋B1E2＝B1B2  ∴∠BEB1＝90°即B1E⊥BE  又AB⊥平面BCC1B1

∴B1E⊥AE   ∴∠AEB为二面角A—EB1—B的平面角          9分

              10分

又∵A1B1⊥平面B1EB    ∴平面A1B1E⊥平面B1EB

∴二面角A—EB1—A1的大小为＝90°－∠AEB                 11分

即所求二面角的正切值为               13分

解法二：易知，面，，面，

∴异面直线与所成角即为所求二面角的大小.        10分

∵∴即为异面直线与所成角，        11分

易得，即所求二面角的正切值为           13分

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。