Question

已知二次函数和“伪二次函数” .

（Ⅰ）证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；

（Ⅱ）在同一函数图像上任意取不同两点A（），B（），线段AB中点为C（），记直线AB的斜率为k.

（1）对于二次函数，求证；

（2）对于“伪二次函数” ，是否有（1）同样的性质？证明你的结论。

Answer

（Ⅰ）恒成立，当时，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函数的性质，（Ⅱ）不可能恒成立，则函数不可能总为增函数.

（Ⅱ）；

（2）“伪二次函数” 不具有（1）的性质.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）定义域为，如果为增函数，则（Ⅰ）恒成立，当时，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函数的性质，（Ⅱ）不可能恒成立，则函数不可能总为增函数.        4分

（Ⅱ）（1）.

由      ∴，则          8分

（2）不妨设，对于“伪二次函数”：

（Ⅲ）

由(1)中（Ⅰ）(Ⅳ)

的性质,则,比较（Ⅲ）(Ⅳ)两式得 ,

即(Ⅴ)   令 (Ⅵ)

设,则

∴在(1, )上递增, ∴

∴(Ⅵ)式不可能成立, (Ⅴ)式不可能成立,

∴“伪二次函数” 不具有（1）的性质.           13分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题，不等式的解法。