Question

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；

(2)过B₁作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求直线l的方程．

Answer

(1)＋＝1，e＝ ；(2) x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

【解析】

试题分析：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．因为△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.

结合c2＝a2－b2，得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，∴离心率e＝＝.

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝b＝b2.

由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.

因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由(1)，知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意，知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程，得(m2＋5)y2－4my－16＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝，y1·y2＝－.

又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，

∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－＋16＝－.

由PB2⊥QB1，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.

∴满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。