Question

已知函数，．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

(3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：．

Answer

(1) 函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，

(2)    (3)构造函数证明.

【解析】

试题分析：(1)当时，函数，则．

当时，，当时，1，

则函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，．

(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．

设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而．

(3)，．

因为对任意的总存在，使得成立，

所以，即，

即

．

设，其中，则，因而在区间(0，1)上单调递增，，又．所以，即．

考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用