Question

已知函数，数列是公差为d的等差数列，是公比为q（）的等比数列.若

(Ⅰ)求数列，的通项公式；     

(Ⅱ)设数列对任意自然数n均有，求 的值；

(Ⅲ)试比较与的大小.

Answer

（1），  （2）        （3）

【解析】

试题分析：(Ⅰ) ∵ ， ∴ .

即 ， 解得 d =2.

∴ . ∴     2分

∵ , ∴ .

∵ , ∴ .

又， ∴ .  4分

(Ⅱ) 由题设知 ， ∴.

当时, ,

,

两式相减,得.

∴  (适合).  7分

设T=,

∴

两式相减 ,得

.

∴ .  10分

(Ⅲ) ,  .

现只须比较与的大小.

当n=1时, ；

当n=2时, ；

当n=3时, ；

当n=4时, .

猜想时，.     12分            

用数学归纳法证明

(1)当n=2时，左边，右边，成立.

(2)假设当n=k时, 不等式成立，即.

当n=k+1时,

.

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（1）（2），可知时，都成立.

所以 （当且仅当n＝1时，等号成立）

所以.即.    14分

考点：等差数列和等比数列