Question

已知函数.

（1）判断奇偶性, 并求出函数的单调区间；

（2）若函数有零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）是偶函数，的单调增区间是,;单调减区间是,,

（2）

【解析】

试题分析：解(1) 定义域在数轴上关于原点对称,

且,所以是偶函数        2分

当时, ,   

由 , , 解得:  所以在是增函数;

由 , , 解得: .所以在是减函数.    4分

因为是偶函数, 图象关于轴对称，所以, 当时, 在是减函数, 在是增函数.

所以, 的单调增区间是,;单调减区间是,,.   6分

(2) 由,得 ,

令                           8分

当时,  ,当, , 在是增函数;

当, , 在是减函数,

所以, 当时,极小值是             11分

因为是奇函数,所以, 当时, 极大值是

所以 ,

即, 函数有零点.            14分

考点：导数的运用