Question

下列函数中既是增函数又是奇函数的是

A．               B．

C．                          D．

Answer

D

【解析】

试题分析：四个选项中都给出了具体的函数解析式，其中选项D是分段函数，可由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）知函数为奇函数，在分析x＞0时函数的增减性，根据奇函数的对称性进一步得到函数在整个定义域内的增减性；选项B举一反例即可； C、A中的两个函数，定义域均不关于原点对称，都不是奇函数.根据题意，由于【解析】
由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），知函数f（x）=x|x|为奇函数，又f（x）=x|x|= x2 (x＞0),-x2 (x＜0)

当x＞0时，f（x）=x2在（0，∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，所以当x＜0时，f（x）=-x2在（-∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）=x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确．由于正弦函数是周期性函数，不满足定义域内增函数，因此错误，对于C,A,定义域部关于原点对称，故选D.

考点：函数的奇偶性及函数的单调性