Question

如图所示，已知圆的直径长度为4，点为线段上一点，且.点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的射影为点，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值。

Answer

（1）对于线面垂直的证明，一般运用线面垂直的判定定理，利用线线垂直，来得到证明。

（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：连接，由知，点为的中点，

又∵为圆的直径，∴，

由知，，

∴为等边三角形，从而．                         3分

∵点在圆所在平面上的射影为点，

∴平面，又平面，

∴，5分

由得，平面．                            6分

（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分．）

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）可知，，

过点作，垂足为，连接，再过点作，垂足为．8分

∵平面，又平面，

∴，又，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面，故为所求的线面角                  10分

在中，，，

          12分

考点：线面垂直，线面角