Question

已知、分别为椭圆：的上、下焦点，其中也是抛物线： 的焦点，点是与在第二象限的交点，且。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点（1，3）和圆：，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段取一点，满足：，（且）。

求证：点总在某定直线上。

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）设由可得由可得⑤×⑦得：，⑥×⑧得：，两式相加得又点A，B在圆上，且，

所以，即，所以点Q总在定直线上

【解析】

试题分析：（1）由：知（0，1），设 ，因M在抛物线上，故

 ①      又，则 ②，

由①②解得                  （3分）

椭圆的两个焦点（0，1），，点M在椭圆上，有椭圆定义可得

∴又，∴，椭圆的方程为：    （6分）

（2）设，

由可得：，

即 （9分）

由可得：，

即

⑤×⑦得：

⑥×⑧得：                           （10分）

两式相加得         （11分）

又点A，B在圆上，且，

所以，

即，所以点Q总在定直线上              （12分）

考点：椭圆抛物线方程性质及直线与圆相交