Question

已知数列，其前项和为．

⑴若对任意的，组成公差为的等差数列，且，，求的值；

⑵若数列是公比为的等比数列，为常数，求证：数列为等比数列的充要条件为．

Answer

（1）

（2）证明充要条件命题，要证明充分性和必要性同时成立即可。

【解析】

试题分析：⑴因为成公差为的等差数列，

所以，                 2分

所以是公差为的等差数列，且

，             4分

又因为，所以

，

所以，所以．                 6分

⑵因为，所以，   ①

所以，   ②

②－①，得， ③            8分

（ⅰ）充分性：因为，所以，代入③式，得

，因为，又，

所以，，所以为等比数列，              12分

（ⅱ）必要性：设的公比为，则由③得，

整理得，                 14分

此式为关于n的恒等式，若，则左边，右边，矛盾；

，当且仅当时成立，所以．

由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列为等比数列的充要条件为．       16分

考点：等比数列的概念，等差数列