Question

已知函数，，．

⑴求函数的单调区间；

⑵记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实   数的取值范围；

⑶记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．

Answer

（1）当时，为单调增区间，

当时，为单调减区间， 为单调增区间．

（2）要证明存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．，要结合极值点的函数值来得到。

【解析】

试题分析：（1）因为，

①若，则，在上为增函数，          2分

②若，令，得，

当时，；当时，．

所以为单调减区间，为单调增区间．

综上可得，当时，为单调增区间，

当时，为单调减区间， 为单调增区间．     4分

（2）时，，

，                     5分

在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，

由得，                      6分

（ⅰ），，满足题意；                      7分

（ⅱ）时，，即；               8分

（ⅲ）时，，得，故；

综上得：在上有且只有一个极值点时，．            9分

注：本题也可分离变量求得．

（3）证明：由（1）可知：

（ⅰ）若，则，在上为单调增函数，

所以直线与 的图象不可能有两个切点，不合题意．        10分

（ⅱ）若，在处取得极值．

若，时，由图象知不可能有两个切点．          11分

故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），

则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点．

，，

设切点分别为，则，且

，，，

即， ①

， ②

，③

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，

即，                        14分

令，则，令，因为，，

故存在，使得，

即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．        16分

考点：导数的运用