Question

过直线上的动点作抛物线的两切线，为切点．

（1）若切线的斜率分别为，求证：为定值；

（2）求证：直线过定点．

Answer

（1）-4

（2）

【解析】

试题分析：（1）设过作抛物线的切线的斜率为，则切线的方程为，

与方程联立，消去，得.

因为直线与抛物线相切，所以，

即. 由题意知，此方程两根为，

所以(定值).                          4分

（2）设，由，得.

所以在点处的切线斜率为：，因此，切线方程为：.

由，化简可得，.

同理，得在点处的切线方程为.

因为两切线的交点为，故,.

所以两点在直线上，即直线的方程为：.

当时,，所以直线经过定点.             10分

考点：直线与抛物线的位置关系