Question

已知直三棱柱的三视图如图所示，是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，得四边形为矩形，为的中点，又为中点，所以为中位线，所以 ∥所以 ∥平面

（Ⅱ）（Ⅲ）为线段中点

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，

得四边形为矩形，为的中点.

又为中点，所以为中位线，所以 ∥，    2分

因为 平面，平面，

所以 ∥平面.            4分

（Ⅱ）【解析】
由是直三棱柱，且，故两两垂直.

如图建立空间直角坐标系.                          5分

，则.

所以 ， 

设平面的法向量为，则有

所以  取，得.            6分

易知平面的法向量为.

由二面角是锐角，得 .

所以二面角的余弦值为.          8分

（Ⅲ）【解析】
假设存在满足条件的点.

因为在线段上，，，故可设，其中.

所以 ，.               9分

因为与成角         10分

所以，解得，舍去.

所以当点为线段中点时，与成角.             12分

考点：空间线面平行的判定及二面角线线角的求解