Question

已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E．求证：(1)△ABC≌△DCB   (2)DE·DC＝AE·BD．

Answer

（1）根据梯形为等腰梯形推断出∠ABC=∠DCB，同时根据AB=CD，BC=CB，证明出△ABC≌△DCB．

（2）根据（1）中△ABC≌△DCB推断出∠ACB=∠DBC，同时根据AD∥BC和ED∥AC推断出∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，进而根据相似三角形判定定理推断出△ADE∽△CBD，进而根据相似三角形的性质求得DE：BD=AE：CD，推断出DE?DC=AE?BD．

【解析】

试题分析：证明：(1) ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB

∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD

(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB

∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC  ∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB

∴△ADE∽△CBD   ∴DE:BD＝AE:CD，  ∴DE·DC＝AE·BD.

考点：相似三角形