Question

如图,是以为直径的上一点,于点,过点作的切线,与的延长线相交于点是的中点,连结并延长与相交于点,延长与的延长线相交于点.

(1)求证:；

(2)求证:是的切线；

(3)若,且的半径长为,求和的长度.

Answer

（1）根据三角形的相似来证明，

（2）要证明直线是圆的切线，只要证明圆心与切点的连线与直线垂直即可。

（3），

【解析】

试题分析：．(1)证明：是的直径，是的切线，

．又，．

易证，．

．．

是的中点，．．

(2)证明：连结．是的直径，．

在中，由（1），知是斜边的中点，

．．又，．

是的切线，．

，是的切线．

(3)【解析】
过点作于点．，．

由(1)，知，．

由已知，有，，即是等腰三角形．

，．，，即．

，四边形是矩形，．

，易证．，即．

的半径长为，．．

解得．．，．．

在中，，，由勾股定理，得．

．解得（负值舍去）．．

［或取的中点，连结，则．易证，，故，．由，易知，．

由，解得．又在中，由勾股定理，得

，（舍去负值）．］

考点：三角形的相似，圆 的性质