Question

四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，AD＝2BC＝4，且AB＋BD＝AC＋CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值是

A．4                B．2            C．5                D．

Answer

A

【解析】

试题分析：作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．【解析】

作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD， AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，故可知答案为4，选A

考点：棱锥