Question

对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成立，则称函数是D上的J函数．

（Ⅰ）当函数f（x）＝mlnx是J函数时，求m的取值范围；

（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，

①试比较g（a）与g（1）的大小；

②求证：对于任意大于1的实数x₁，x₂，x₃， ，x_n，均有g（ln（x₁＋x₂＋ ＋x_n））＞g（lnx₁）＋g（lnx₂）＋ ＋g（lnx_n）．

Answer

（1）

（2）当时，，即，得；

当时，，即，得；

当时，，即，得.

同时结合构造函数结合导数求解最值证明不等式。

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）由，可得，

因为函数是函数，所以，即，

因为，所以，即的取值范围为.          （3分）

（Ⅱ）①构造函数，

则，可得为上的增函数，

当时，，即，得；

当时，，即，得；

当时，，即，得.      （6分）

②因为，所以，

由①可知，

所以，整理得，

同理可得， ，.

把上面个不等式同向累加可得

.         （12分）

考点：导数的运用