Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求的取值范围．

Answer

(Ⅰ)  (Ⅱ) [，）

【解析】

试题分析： (Ⅰ) 设F2(c，0)，则

＝，所以c＝1．

因为离心率e＝，所以a＝．

所以椭圆C的方程为．                       6分

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P(，0)、Q(,0)

．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由 得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)＝0，

则－1＋4mk＝0，故k＝．

此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为．

即．

联立 消去y，整理得．

所以，．

于是(x1－1)(x2－1)＋y1y2

．

令t＝1＋32m2，1＜t＜29，则．

又1＜t＜29，所以．

综上，的取值范围为[，）．                     15分

考点：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。