Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ) 证明：PA⊥BD；

(Ⅱ) 若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

Answer

（Ⅰ）由余弦定理得 ，证得BD2+AD2= AB2，故BDAD;可得 BD PD

所以BD 平面PAD. 故 PABD

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为, 由余弦定理得 

从而BD2+AD2= AB2，故BDAD;又PD 底面ABCD，可得BD PD

所以BD 平面PAD. 故 PABD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则

,,,。

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则,

 即

因此可取n=

设平面PBC的法向量为m，则

可取m=（0，-1，）        

故二面角A-PB-C的余弦值为 

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。