Question

已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的单调区间;

(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.

Answer

（1）

（2）在区间内为增函数;在内为减函数.

（3）构造函数借助于导数分析函数单调性，进而得到求解最值来得到证明。

【解析】

试题分析：解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;   4分

(Ⅱ),令可得,

当时,;当时,.

于是在区间内为增函数;在内为减函数.      8分

(Ⅲ),

(1)当时, ,.  10分

(2)当时,要证.

只需证即可

设函数.

则,

则当时,

令解得,

当时;当时,

则当时,且,

则,于是可知当时成立

综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.          14分

另证1:设函数,则,

则当时,

于是当时,要证,

只需证即可,

设,,

令解得,

当时;当时,

则当时,

于是可知当时成立

综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.

另证2:根据重要不等式当时,即,

于是不等式,

设,,

令解得,

当时;当时,

则当时,

于是可知当时成立.

考点：导数的运用