Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过双曲线的顶点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）命题：“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点， 为该双曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明和求出此定值；

（3）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.

Answer

（1）．

（2）关于椭圆的正确命题是：设、是椭圆上关于它

的中心对称的任意两点，为该椭圆上的动点，若直线、均存在斜率，

则它们的斜率之积为定值．（定值）

（3）关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：

设、是方程（，不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值.

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为，

则，，

椭圆的方程为．

（2）关于椭圆的正确命题是：设、是椭圆上关于它

的中心对称的任意两点，为该椭圆上的动点，若直线、均存在斜率，

则它们的斜率之积为定值．

证明如下：

设点，，，

直线、的斜率分别为，

则，

点，在椭圆上，

，且，

， 即，

所以，（定值）

（3）关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：

设、是方程（，不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值.

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系。