Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥侧面AA₁C₁C，AC=BC=1，CC₁=2， ∠CAA₁= ，D、E分别为AA₁、A₁C的中点．

（1）求证：A₁C⊥平面ABC；（2）求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值．

Answer

（1）通过余弦定理来证明AC⊥A1C，以及结合题目中的BC⊥A1C来得到证明。

（2）

【解析】

试题分析：【解析】
（1）证明：∵BC⊥侧面AA1C1C，A1C在面AA1C1C内，∴BC⊥A1C．  2分

在△AA1C中，AC=1，AA1=C1C=2，∠CAA1=，

由余弦定理得A1C2=AC2+-2AC?AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos=3， 

∴A1C=   ∴AC2+A1C2=AA12   ∴AC⊥A1C                 5分

∴A1C⊥平面ABC．                                            6分

（2）由（Ⅰ）知，CA，CA1，CB两两垂直

∴如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA1，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(0，，0)

由此可得D(，，0)，E(0，，0)，=（，，-1），=(0，，-1)．

设平面BDE的法向量为=(x，y，z)，则有令z=1，则x=0，y=

∴=(0，，1)          9分

∵A1C⊥平面ABC   ∴=(0，，0)是平面ABC的一个法向量        10分

∴    

∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为．       12分

考点：二面角的平面角以及线面垂直